Теорема Гудстейна является примером довольно необычного суждения о последовательности чисел и изучается в рамках математической логики.
Как известно, любое натуральное число можно записать в системе с основанием $base$, например с $base=2$:
$ 10 = 2^3 + 2^1 $
Применим к записи числа следующий набор операций:
Последовательность Гудстейна для числа 4 будет выглядеть так:
Первое число: $ 2^2 = 4 $
Интересно, что ряд действительно возрастает, причём до очень больших значений, но потом обязательно начинает уменьшаться.
Для выбранного нами числа 4 эта последовательность чудовищна: она требует $3*2^{402653211} -3$ шагов, прежде чем появится нуль. Данное число состоит из 121 000 000 цифр!
Примечание:
В англоязычной литературе можно встретить помимо обозначенной последовательности Гудстейна ещё и "слабую" (weak Goodstein sequence). Её отличительной особенностью является то, что мы меняем на каждом шаге не любое вхождение одного числа на другое, а только основание. Скажем, $2^2$ меняется на $3^2$, а не на $3^3$. Такая последовательность элементов должна быстрее сходиться к нулю.
Ссылки:
Как известно, любое натуральное число можно записать в системе с основанием $base$, например с $base=2$:
$ 10 = 2^3 + 2^1 $
Применим к записи числа следующий набор операций:
- Заменим "двойки" в записи числа на "тройки" ($2 \to 3$) и вычтем единицу.
- Полученное число запишем в системе, основание которой на 1 больше (заменим $base=2$ на $base=3$)
- Заменим "тройки" в записи числа на "четвёрки" ($3 \to 4$) и вычтем единицу
- Полученное число запишем в системе, основание которой на 1 больше (заменим $base=3$ на $base=4$)
- ....
Последовательность Гудстейна для числа 4 будет выглядеть так:
Первое число: $ 2^2 = 4 $
Второе число: $ 3^3 - 1 = 26=2*3^2 + 2*3^1+2 $
Третье число: $ 2*4^2 + 2* 4^1 +2-1 =41=2*4^2+2*4^1+1 $
Четвёртое число: $ 2*5^2+2*5^1+1-1=60=2*5^2+2*5^1$
Пятое число: $ ..... $
и т.д.
нетрудно заметить, что элементы ряда возрастают с каждой итерацией. Теорема утверждает, что ряд закончится нулём!
Интересно, что ряд действительно возрастает, причём до очень больших значений, но потом обязательно начинает уменьшаться.
Для выбранного нами числа 4 эта последовательность чудовищна: она требует $3*2^{402653211} -3$ шагов, прежде чем появится нуль. Данное число состоит из 121 000 000 цифр!
Примечание:
В англоязычной литературе можно встретить помимо обозначенной последовательности Гудстейна ещё и "слабую" (weak Goodstein sequence). Её отличительной особенностью является то, что мы меняем на каждом шаге не любое вхождение одного числа на другое, а только основание. Скажем, $2^2$ меняется на $3^2$, а не на $3^3$. Такая последовательность элементов должна быстрее сходиться к нулю.
Ссылки:
Для числа 12 это уже больше числа Грэма и даже стасплекса.
ОтветитьУдалитьvajno uvidet geometricheskoe razvitiya posledovatelnnosti gudsteina .
ОтветитьУдалить